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西北师范大学数学与统计学院2024研究生加试科目考试大纲:《实变函数论》

作者: 花店 2023-08-16 12:31:05 考研备考 4088次

西北师范大学数学与统计学院《实变函数论》2024年硕士研究生入学考试自命题科目参考大纲已出,为帮助考生明确考试复习范围和有关要求,特制定出本考试大纲。本考试大纲适用于西北师范大学2024考研学子,一起关注。

《实变函数论》 考试大纲

西北师范大学数学与统计学院2024研究生加试科目考试大纲:《实变函数论》

(科目代码:526)

一、 考核要求

实变函数是数学与应用数学的专业课之一。通过本课程的学习,使学生掌握实变函数的基本理论、基本知识与基本方法,为以后进一步的深入学习其它学科打下坚实的基础。本课程的具体要求有:掌握集合论的基本理论;初步掌握和了解测度论的基本知识;熟练掌握可测函数的基本概念和基本性质,掌握Lebesgue 积分的理论和方法。

二、 考核内容

第一章 集合

1、知识点

集合的概念和运算,对等与基数,可数集合,不可数集合,半序集和曹恩引理。

2、考核要求

1)掌握集合交,并、余等运算和上、下极限的定义和基本运算;

2)熟练掌握集合的对等的定义与性质;能熟练应用伯恩斯坦(Bernstein)定理证明集合的对等关系;

3)理解基数的定义;掌握可数集与不可数集的性质,会判断给定的集合是否可数。

第二章 点集

1、知识点

度量空间(n维欧氏空间),聚点、内点和界点,开集、闭集、完备集及其构造。

2、考核要求

1) 理解和掌握度量空间的定义,邻域的性质,有界点集的定义和n维区间的体积;

2) 熟练掌握n维区间点的关系,聚点、内点和界点的定义聚点与等价条件;

3) 掌握开核、边界和导集的概念和性质极其相互关系;

4) 理解和掌握开集、闭集和完备集的性质;

5) 理解开集的构成区间与余区间,了解开集、闭集的构造;熟练掌握康托尔集的构成和性质。

第三章 测度论

1、知识点

约当测度,Lebesgue 外测度和内测度,可测集。

2、考核要求

1)测度的定义和性质;

2)掌握Lebesgue 外测度和内测度的定义和基本性质;

3)练掌握由卡拉皆屋铎利给出可测集的定义及可测集的基本运算性质;

4)掌握零测集的性质;开集、闭集的可测性;

5)约当测度与Lebesgue测度的关系;

6)解特殊的两类集合,波雷耳集。

第四章 可测函数

1、知识点

可测函数及其性质,几乎处处收敛,叶果洛夫定理,可测函数的构造,依测度收敛。

2、考核要求

1)熟练掌握可测函数及其四则运算,可测函数与简单函数的关系,几乎处处成立的概念;

2)理解叶果洛夫定理;

3)理解并掌握鲁津定理及其逆定理;

4)熟练掌握依测度收敛的定义,几乎处处收敛与依测度收敛的几个反例,Riese定理和Lebesgue收敛定理。

第五章 积分论

1、知识点

Riemann积分,勒贝格积分的定义,勒贝格积分的性质,一般可积函数,积分的极限定理。

2、考核要求

1)了解由确界式定义的Riemann积分,及Riemann积分的缺陷;

2)理解勒贝格积分的定义,掌握可积的两个充要条件;可积的四则运算,勒贝格积分与Riemann积分的关系;

3)熟练掌握勒贝格积分的基本性质和绝对连续性 ;

4)熟练掌握一般可积函数的L积分的定义和初等性质;

5)牢记勒贝格控制收敛定理,列维定理,L 逐项积分定理,积分的可数可加性,Fatou引理及有关积分与求导交换的定理。

三、参考书目

1.《实变函数与泛函分析》,程其襄,张奠宙,胡善文等编, 第3版,高等教育出版社,2010.6.

2.《实变函数论》,周民强 编著,北京大学出版社,2001.7.

原标题:西北师范大学2024年硕士研究生招生考试自命题科目参考大纲

文章来源:https://yjsy.nwnu.edu.cn/_t334/2023/0725/c2701a214730/page.htm

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