2012考研英语一真题(2012年考研数学一试题分析)

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2012年考研数学一试题分析

从总体上来看，2012年考研数学一试题还算是比较难的，这套试卷几乎包含了考试大纲规定的所有考试知识点，并且有些题目还包含了多个知识点，使得考生在分析解答时感到有些困难，尤其是那些大题计算量很大，往往需要考生花费较多时间才能完成。

2012年上半年教师资格证考试真题

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考研数学真题从多少年开始做

考研数学真题，从当年的后10年之内开始做就足够了。今年是2022年，只需要做到2012年的考研数学真题即可，因为10年数学真题足够你归纳总结出重点考察知识点，并且熟悉考研真题的相关题型，同时把握考试做题时间。因此考研数学真题也是必做的练习。

2012年数学联赛试题及每题详解

2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案

第一试

一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）

1．已知，，，那么的大小关系是（C）

A.B.C.D.

2．方程的整数解的组数为（B）

A．3.B．4.C．5.D．6.

3．已知正方形ABCD的边长为1，E为BC边的延长线上一点，CE＝1，连接AE，与CD交于点F，连接BF并延长与线段DE交于点G，则BG的长为（D）

A．B．C．D．

4．已知实数满足，则的最小值为（B）

A．.B．0.C．1.D．.

5．若方程的两个不相等的实数根满足，则实数的所有可能的值之和为（B）

A．0.B．.C．.D．.

6．由1，2，3，4这四个数字组成四位数（数字可重复使用），要求满足.这样的四位数共有（C）

A．36个.B．40个.C．44个.D．48个.

二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）

1．已知互不相等的实数满足，则．

2．使得是完全平方数的整数的个数为1．

3．在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝40，P为AB上一点，∠ACP＝20，则＝．

4．已知实数满足，，，则＝．

第二试（A）

一、（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为30，求它的外接圆的面积.

解设直角三角形的三边长分别为（），则.

显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长，下面先求的值.

由及得，所以.

由及得，所以.

又因为为整数，所以.

根据勾股定理可得，把代入，化简得，所以

，

因为均为整数且，所以只可能是解得

所以，直角三角形的斜边长，三角形的外接圆的面积为.

二．（本题满分25分）如图，PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，AD⊥OP于点D.证明：.

证明：连接OA，OB，OC.

∵OA⊥AP，AD⊥OP，∴由射影定理可得，.

又由切割线定理可得，∴，∴D、B、C、O四点共圆，

∴∠PDB＝∠PCO＝∠OBC＝∠ODC，∠PBD＝∠COD，∴△PBD∽△COD，

∴，∴.

三．（本题满分25分）已知抛物线的顶点为P，与轴的正半轴交于A、B（）两点，与轴交于点C，PA是△ABC的外接圆的切线.设M，若AM//BC，求抛物线的解析式.

解易求得点P，点C.

设△ABC的外接圆的圆心为D，则点P和点D都在线段AB的垂直平分线上，设点D的坐标为.

显然，是一元二次方程的两根，所以，，又AB的中点E的坐标为，所以AE＝.

因为PA为⊙D的切线，所以PA⊥AD，又AE⊥PD，所以由射影定理可得，即，又易知，所以可得.

又由DA＝DC得，即，把代入后可解得（另一解舍去）.

又因为AM//BC，所以，即.

把代入解得（另一解舍去）.

因此，抛物线的解析式为.

第二试（B）

一．（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为60，求它的外接圆的面积.

解设直角三角形的三边长分别为（），则.

显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长，下面先求的值.

由及得，所以.

由及得，所以.

又因为为整数，所以.

根据勾股定理可得，把代入，化简得，所以

，

因为均为整数且，所以只可能是或

解得或

当时，，三角形的外接圆的面积为；

当时，，三角形的外接圆的面积为.

二．（本题满分25分）如图，PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，AD⊥OP于点D，△ADC的外接圆与BC的另一个交点为E.证明：∠BAE＝∠ACB.

证明：连接OA，OB，OC，BD.

∵OA⊥AP，AD⊥OP，∴由射影定理可得

，.

又由切割线定理可得，

∴，∴D、B、C、O四点共圆，

∴∠PDB＝∠PCO＝∠OBC＝∠ODC，

∠PBD＝∠COD，∴△PBD∽△COD，∴，

∴，∴.

又∠BDA＝∠BDP＋90＝∠ODC＋90＝∠ADC，∴△BDA∽△ADC，

∴∠BAD＝∠ACD，∴AB是△ADC的外接圆的切线，∴∠BAE＝∠ACB.

三．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第三题相同.

第二试（C）

一．（本题满分20分）题目和解答与（B）卷第一题相同.

二．（本题满分25分）题目和解答与（B）卷第二题相同.

三．（本题满分25分）已知抛物线的顶点为P，与轴的正半轴交于A、B（）两点，与轴交于点C，PA是△ABC的外接圆的切线.将抛物线向左平移个单位，得到的新抛物线与原抛物线交于点Q，且∠QBO＝∠OBC.求抛物线的解析式.

解抛物线的方程即，所以点P，点C.

设△ABC的外接圆的圆心为D，则点P和点D都在线段AB的垂直平分线上，设点D的坐标为.

显然，是一元二次方程的两根，所以，，又AB的中点E的坐标为，所以AE＝.

因为PA为⊙D的切线，所以PA⊥AD，又AE⊥PD，所以由射影定理可得，即，又易知，所以可得.

又由DA＝DC得，即，把代入后可解得（另一解舍去）.

将抛物线向左平移个单位后，得到的新抛物线为

.

易求得两抛物线的交点为Q.

由∠QBO＝∠OBC可得∠QBO＝∠OBC.

作QN⊥AB，垂足为N，则N，又，所以

∠QBO＝＝

.

又∠OBC＝，所以

.

解得（另一解，舍去）.

因此，抛物线的解析式为.

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